Maths : calculer une longueur, prouver qu'un triangle est rectangle
1. Le vocabulaire
Un triangle rectangle a un angle droit (90°).
L'hypoténuse est le côté en face de l'angle droit. C'est toujours le plus long.
Ici, le triangle est rectangle en A, et l'hypoténuse est [BC].
2. Le théorème : calculer une longueur
Si le triangle ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².
En mots : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Chercher l'hypoténuse
AB = 6, AC = 8 BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 BC = √100 = 10
Chercher un autre côté
BC = 13, AC = 5 AB² = BC² − AC² = 169 − 25 = 144 AB = √144 = 12
√ (racine carrée) : le nombre positif qui, au carré, donne le nombre. √100 = 10 car 10² = 100. À la calculatrice, touche √. Si elle ne tombe pas juste, on arrondit : √117 ≈ 10,8.
3. La réciproque : le triangle est-il rectangle ?
Si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle. C'est la réciproque.
On repère le plus grand côté et on calcule son carré. Attention : 13² = 13 × 13 = 169, pas 13 × 2.
On calcule la somme des carrés des deux autres, à part.
Égal : rectangle, l'angle droit est en face du plus grand côté. Différent : pas rectangle.
4. Rédiger comme au brevet
Dans le triangle DEF, le plus grand côté est [DF].
D'une part, DF² = 25² = 625. D'autre part, DE² + EF² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625.
Donc DF² = DE² + EF². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle en E.
Si les deux nombres sont différents : « S'il était rectangle, l'égalité de Pythagore serait vraie. Donc le triangle n'est pas rectangle. »
À retenir : le théorème sert à calculer une longueur quand on sait que le triangle est rectangle ; la réciproque sert à prouver qu'il l'est. Toujours nommer le triangle, citer le théorème, écrire l'égalité, conclure par une phrase.